Trigonometria Esempi

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$1 - \tan^{2} (x)$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$1 - \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$1 - \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$1 - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$ è un'identità