Trigonometria Esempi

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (t)$ .

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - \csc^{2} (t)$

Passaggio 2.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (t)$ .

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Passaggio 2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Passaggio 2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (t)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (t)}$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Passaggio 4

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 4.1

Per scrivere $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- \frac{1}{\sin^{2} (t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Passaggio 4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ per $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ per $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)}$

Passaggio 4.3.3

Riordina i fattori di $\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin^{2} (t) - \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Passaggio 5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sin (t)$ e $b = \cos (t)$ .

$\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$ come $\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$ .

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$ è un'identità