Trigonometria Esempi

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Passaggio 2

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Passaggio 3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Passaggio 4

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x - y)}$

Passaggio 5

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Poiché $\cos (- y)$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- y)$ come $\cos (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6.1.2

Poiché $\sin (- y)$ è una funzione dispari, riscrivi $\sin (- y)$ come $- \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6.1.4

Somma $\sin (x) \cos (y)$ e $\sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6.1.5

Sottrai $\cos (x) \sin (y)$ da $\cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + 0}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6.1.6

Somma $2 \sin (x) \cos (y)$ e $0$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Poiché $\cos (- y)$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- y)$ come $\cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Passaggio 6.2.2

Poiché $\sin (- y)$ è una funzione dispari, riscrivi $\sin (- y)$ come $- \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y))}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y)}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Passaggio 6.2.4

Somma $\cos (x) \cos (y)$ e $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Passaggio 6.2.5

Somma $- \sin (x) \sin (y)$ e $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) + 0}$

Passaggio 6.2.6

Somma $2 \cos (x) \cos (y)$ e $0$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $\cos (y)$ .

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Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6.5

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$ è un'identità