Trigonometria Esempi

$\frac{2 \tan (\frac{5 π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{2 (- \tan (\frac{π}{6}))}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Passaggio 1.3

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (2 \frac{\sqrt{3}}{3})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Passaggio 1.3.2

$2$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \tan (\frac{5 π}{6})$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{5 π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Passaggio 2.3.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

Passaggio 2.3.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \tan (\frac{π}{6}))}$

Passaggio 2.3.4

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.4

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $9$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

Passaggio 8.2

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{3}$

Forma decimale:

$- 1.73205080 \dots$