Trigonometria Esempi

$\frac{3}{\tan (67.5)}$

Passaggio 1

Frazioni separate.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\tan (67.5)}$

Passaggio 2

Riscrivi $\tan (67.5)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}}$

Passaggio 3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$

Passaggio 4

Converti da $\frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$ a $\cot (67.5)$ .

$\frac{3}{1} \cot (67.5)$

Passaggio 5

Dividi $3$ per $1$ .

$3 \cot (67.5)$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cot (67.5)$ è $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi $67.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$3 \cot (\frac{135}{2})$

Passaggio 6.2

Applica l'identità reciproca.

$3 \frac{1}{\tan (\frac{135}{2})}$

Passaggio 6.3

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$3 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.4

Cambia $\pm$ in $+$ poiché la cotangente è positiva nel primo quadrante.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.5

Semplifica $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$ .

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Passaggio 6.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.5.1.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.5.1.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 6.5.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.5.1.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.5.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.5.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}}$

Passaggio 6.5.2.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Passaggio 6.5.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Passaggio 6.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Passaggio 6.5.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Passaggio 6.5.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

Passaggio 6.5.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

Passaggio 6.5.3.4

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

Passaggio 6.5.3.5

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Passaggio 6.5.3.6

Semplifica.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.9

$\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.10

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 6.5.3.10.1

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.10.2

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.10.3

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.10.4

Scrivi $\sqrt{2}$ come una frazione con denominatore $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.10.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.10.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.5.3.12.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.5.3.12.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.12.6.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.13

Somma $4$ e $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.14

Somma $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.15

Elimina il fattore comune di $6 + 4 \sqrt{2}$ e $2$ .

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Passaggio 6.5.3.15.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.15.2

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.15.3

Scomponi $2$ da $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Passaggio 6.5.3.15.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.5.3.15.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Passaggio 6.5.3.15.4.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Passaggio 6.5.3.15.4.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Passaggio 6.5.3.15.4.4

Dividi $3 + 2 \sqrt{2}$ per $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 7

$3$ e $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Forma decimale:

$1.24264068 \dots$