Trigonometria Esempi

$\frac{\sin (315)}{1 + \cos (315)}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{- \sin (45)}{1 + \cos (315)}$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (315)}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}$

Passaggio 2.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{2} \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$

Passaggio 5

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ per $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ per $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}$

Passaggio 8

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 10

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 11

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 12

Moltiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 12.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 12.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Passaggio 12.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 13

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 13.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 13.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 13.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}$

Passaggio 13.1.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2} - 2$ e $2$ .

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Passaggio 14.1.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Passaggio 14.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 14.1.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Passaggio 14.1.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Passaggio 14.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Passaggio 14.1.4.4

Dividi $\sqrt{2} - 1$ per $1$ .

$- (\sqrt{2} - 1)$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2} - - 1$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{2} + 1$

Forma decimale:

$- 0.41421356 \dots$