Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (75)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (75)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Passaggio 1.1

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin^{2} (30 + 45)$

Passaggio 1.2

Applica le formule di addizione degli angoli.

${(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))}^{2}$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}$

Passaggio 1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

Passaggio 2.3

Riscrivi ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ come $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Passaggio 3

Espandi $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.10

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.11

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.1.11.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.11.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.12

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 4.1.13

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

Passaggio 4.1.14

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

Passaggio 4.1.15

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

Passaggio 4.1.16

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

Passaggio 4.2

Somma $2$ e $6$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.3

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $8 + 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 5.2

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Passaggio 5.3

Scomponi $4$ da $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 5.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forma decimale:

$0.93301270 \dots$