Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (165)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\tan (165)$ è $- 2 + \sqrt{3}$ .

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Passaggio 1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

${(- \tan (15))}^{2}$

Passaggio 1.2

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

${(- \tan (45 - 30))}^{2}$

Passaggio 1.3

Negazione separata.

${(- \tan (45 - (30)))}^{2}$

Passaggio 1.4

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

${(- \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

${(- \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Passaggio 1.7

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

Passaggio 1.8

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Passaggio 1.9

Semplifica $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Passaggio 1.9.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1

Moltiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ per $\frac{3}{3}$ .

${(- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}))}^{2}$

Passaggio 1.9.1.2

Combina.

${(- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Passaggio 1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Passaggio 1.9.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.9.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Passaggio 1.9.3.2

Elimina il fattore comune.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Passaggio 1.9.3.3

Riscrivi l'espressione.

${(- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Passaggio 1.9.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Passaggio 1.9.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.9.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Passaggio 1.9.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.9.5.2.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Passaggio 1.9.5.2.2

Elimina il fattore comune.

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Passaggio 1.9.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Passaggio 1.9.6

Moltiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

${(- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))}^{2}$

Passaggio 1.9.7

Moltiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

Passaggio 1.9.8

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Passaggio 1.9.9

Semplifica.

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.9.10.1

Eleva $3 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.10.2

Eleva $3 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.10.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.10.4

Somma $1$ e $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.11

Riscrivi ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.12

Espandi $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.9.12.1

Applica la proprietà distributiva.

${(- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.12.2

Applica la proprietà distributiva.

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.12.3

Applica la proprietà distributiva.

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.9.13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.9.13.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

${(- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Passaggio 1.9.13.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 1.9.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.9.13.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.1.5.5

Calcola l'esponente.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.2

Somma $9$ e $3$ .

${(- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.13.3

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $- 3 \sqrt{3}$ .

${(- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.14

Elimina il fattore comune di $12 - 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Passaggio 1.9.14.1

Scomponi $6$ da $12$ .

${(- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.14.2

Scomponi $6$ da $- 6 \sqrt{3}$ .

${(- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.14.3

Scomponi $6$ da $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Passaggio 1.9.14.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.9.14.4.1

Scomponi $6$ da $6$ .

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Passaggio 1.9.14.4.2

Elimina il fattore comune.

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Passaggio 1.9.14.4.3

Riscrivi l'espressione.

${(- \frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Passaggio 1.9.14.4.4

Dividi $2 - \sqrt{3}$ per $1$ .

${(- (2 - \sqrt{3}))}^{2}$

Passaggio 1.9.15

Applica la proprietà distributiva.

${(- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 1.9.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

${(- 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 1.9.17

Moltiplica $- - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.17.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${(- 2 + 1 \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 1.9.17.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 2

Riscrivi ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 3

Espandi $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Passaggio 4.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Passaggio 4.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3$

Passaggio 4.2

Somma $4$ e $3$ .

$7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4.3

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$7 - 4 \sqrt{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$7 - 4 \sqrt{3}$

Forma decimale:

$0.07179676 \dots$