Trigonometria Esempi

$\arctan (\tan (\frac{7 π}{12}))$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}))$

Passaggio 2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Passaggio 4.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})$

Passaggio 4.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Passaggio 4.8

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Passaggio 4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})$

Passaggio 4.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Passaggio 4.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.11.1

Elimina il fattore comune.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Passaggio 4.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})$

Passaggio 4.12

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ per $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})$

Passaggio 4.13

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ per $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})$

Passaggio 4.14

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})$

Passaggio 4.15

Semplifica.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})$

Passaggio 4.16

Dividi $2 + \sqrt{3}$ per $1$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})$

Passaggio 4.17

Espandi $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Passaggio 4.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Passaggio 4.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 4.18

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.18.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.18.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 4.18.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 4.18.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})$

Passaggio 4.18.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})$

Passaggio 4.18.1.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})$

Passaggio 4.18.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})$

Passaggio 4.18.2

Somma $4$ e $3$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})$

Passaggio 4.18.3

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Forma decimale:

$- 1.30899693 \dots$