Trigonometria Esempi

$2 \cos^{2} (15) - 1$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (15)$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$2 \cos^{2} (45 - 30) - 1$

Passaggio 1.1.2

Negazione separata.

$2 \cos^{2} (45 - (30)) - 1$

Passaggio 1.1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$2 {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$2 {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Passaggio 1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - 1$

Passaggio 1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - 1$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 (8)} - 1$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 \cdot 8} - 1$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ come $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Passaggio 1.6

Espandi $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.6

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 1.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.10

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.11

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 1.7.1.11.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.11.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.12

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.13

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.14

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.15

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.1.16

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{8} - 1$

Passaggio 1.7.2

Somma $6$ e $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8} - 1$

Passaggio 1.7.3

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Passaggio 1.8

Elimina il fattore comune di $8 + 4 \sqrt{3}$ e $8$ .

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Passaggio 1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Passaggio 1.8.2

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{8} - 1$

Passaggio 1.8.3

Scomponi $4$ da $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{8} - 1$

Passaggio 1.8.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.8.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (2)} - 1$

Passaggio 1.8.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 2} - 1$

Passaggio 1.8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.1

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2}{2}$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Forma decimale:

$0.86602540 \dots$