Trigonometria Esempi

$\cos (6 x) - \cos (2 x)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\cos (2 (3 x)) - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1

Utilizza l'identità ad angolo triplo per trasformare $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ come $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ .

$2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.3

Espandi $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 (4 \cdot 4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos^{3} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.4.1.2.1

Sposta $\cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cdot 4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (4 \cdot 4 {\cos (x)}^{3 + 3} + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$2 (4 \cdot 4 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.4

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.4.1.4.1

Sposta $\cos (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.4.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{3} (x)$ .

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Passaggio 1.2.4.1.4.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.6

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{3} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.4.1.6.1

Sposta $\cos^{3} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.6.2

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ .

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Passaggio 1.2.4.1.6.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.7

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.8

Moltiplica $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Passaggio 1.2.4.1.8.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.8.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.8.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $12 \cos^{4} (x)$ da $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

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Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $16$ per $2$ .

$32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.2.6.3

Moltiplica $9$ per $2$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 x)$

Passaggio 1.3

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1)$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - (2 \cos^{2} (x)) - - 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - 2 \cos^{2} (x) - - 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1$

Passaggio 2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.1

Combina i termini opposti in $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) + 0 - 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.2

Somma $32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.2

Sottrai $2 \cos^{2} (x)$ da $18 \cos^{2} (x)$ .

$32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 16 \cos^{2} (x)$