Trigonometria Esempi

$\cos (2 \arctan (x))$

Passaggio 1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, x)$ . Perciò, $\cos (\arctan (x))$ è $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.3.6.5

Semplifica.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.5.5

Semplifica.

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.6

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.2.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Passaggio 2.1.7

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, x)$ . Perciò, $\sin (\arctan (x))$ è $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2}$

Passaggio 2.1.9.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{{(x \sqrt{1 + x^{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.10.2

Applica la regola del prodotto a $x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.11.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.11.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.11.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.11.5

Semplifica.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.12

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.2.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Passaggio 2.1.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Passaggio 2.1.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$