Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (112.5)$ è $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $112.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.1.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ come $2 - \sqrt{2}$ .

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Passaggio 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ come ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

Passaggio 1.7

Il valore esatto di $\sin (112.5)$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.7.1

Riscrivi $112.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

Passaggio 1.7.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.7.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il seno è positivo nel secondo quadrante.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.7.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.7

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.7.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Passaggio 1.7.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Passaggio 1.7.4.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.7.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Passaggio 1.7.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Passaggio 1.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.9

Riscrivi ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ come $2 + \sqrt{2}$ .

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Passaggio 1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ come ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 1.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 1.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Passaggio 1.9.5

Semplifica.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4.3

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

Passaggio 4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$- 0.70710678 \dots$