Trigonometria Esempi

$\sin (\arctan (2 x) - \arccos (x))$

Passaggio 1

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\sin (\arctan (2 x)) \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (2 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, 2 x)$ . Perciò, $\sin (\arctan (2 x))$ è $\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.2

Eleva $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.3

Eleva $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ come $1 + 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ come ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.4.6.5

Semplifica.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.5

Le funzioni di coseno e arcocoseno sono inverse.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.6.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.7

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (2 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, 2 x)$ . Perciò, $\cos (\arctan (2 x))$ è $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.8.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}) \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.2

Eleva $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.3

Eleva $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ come $1 + 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ come ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.10.6.5

Semplifica.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Passaggio 2.1.11

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (x))$ è $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 - x^{2}}$

Passaggio 2.1.12

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Passaggio 2.1.13

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.1.14

Moltiplica $- \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 2.1.14.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} - \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$