Trigonometria Esempi

$\sin (\arcsin (2 x) + \arccos (2 x))$

Passaggio 1

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\sin (\arcsin (2 x)) \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$2 x \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.2

Le funzioni di coseno e arcocoseno sono inverse.

$2 x (2 x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x \cdot x + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.4.1

Sposta $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.6

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (2 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ . Perciò, $\cos (\arcsin (2 x))$ è $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.7

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sin (\arccos (2 x))$

Passaggio 2.1.10

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (2 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (2 x))$ è $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.12

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2.1.14

Moltiplica $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ .

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Passaggio 2.1.14.1

Eleva $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2.1.14.2

Eleva $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}$

Passaggio 2.1.14.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.1.14.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$

Passaggio 2.1.15

Riscrivi ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ come $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

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Passaggio 2.1.15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ come ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{2} + {({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.15.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.1.15.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.15.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.15.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}$

Passaggio 2.1.15.5

Semplifica.

$4 x^{2} + (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

Passaggio 2.1.16

Espandi $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Passaggio 2.1.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Passaggio 2.1.16.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Passaggio 2.1.17

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.17.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.17.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$4 x^{2} + 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Passaggio 2.1.17.1.2

Moltiplica $- 2 x$ per $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Passaggio 2.1.17.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x)$

Passaggio 2.1.17.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Passaggio 2.1.17.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.17.1.5.1

Sposta $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Passaggio 2.1.17.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2}$

Passaggio 2.1.17.1.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2}$

Passaggio 2.1.17.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$4 x^{2} + 1 + 0 - 4 x^{2}$

Passaggio 2.1.17.3

Somma $1$ e $0$ .

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $4 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$