Trigonometria Esempi

$\sin (67.5) \cos (22.5)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (67.5)$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $67.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\sin (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Passaggio 1.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Passaggio 1.3

Cambia $\pm$ in $+$ , poiché il seno è positivo nel primo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.7

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\cos (22.5)$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $22.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Passaggio 2.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Passaggio 2.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Passaggio 2.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 2.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 2.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

Passaggio 4

Riscrivi ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ come $2 + \sqrt{2}$ .

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ come ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{4}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Forma decimale:

$0.85355339 \dots$