Trigonometria Esempi

$\sin (\arccos (\frac{1}{2}) + \arctan (1))$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3} + \arctan (1))$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{3} + \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (\frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12})$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\sin (\frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

Passaggio 6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\sin (\frac{4 π + 3 \cdot π}{12})$

Passaggio 6.3

Somma $4 π$ e $3 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 7

Il valore esatto di $\sin (\frac{7 π}{12})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Passaggio 7.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Passaggio 7.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il seno è positivo nel secondo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Passaggio 7.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 7.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 7.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 7.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.4.7

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 7.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 7.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 7.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 7.4.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 7.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Forma decimale:

$0.96592582 \dots$