Trigonometria Esempi

$\sin (15) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin (45 - 30) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.2

Negazione separata.

$\sin (45 - (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 6

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 6.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.2

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.3

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{3} - 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 8.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 8.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 8.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 8.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (15) \sin (45)$

Passaggio 9

Il valore esatto di $\cos (15)$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - 30) \sin (45)$

Passaggio 9.2

Negazione separata.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - (30)) \sin (45)$

Passaggio 9.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Passaggio 9.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Passaggio 9.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Passaggio 9.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (45)$

Passaggio 9.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Passaggio 9.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Passaggio 9.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Passaggio 9.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Passaggio 9.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Passaggio 9.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (45)$

Passaggio 9.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (45)$

Passaggio 9.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} \sin (45)$

Passaggio 10.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Passaggio 11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Espandi $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.3

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.7

Riscrivi $- 1 \sqrt{6}$ come $- \sqrt{6}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.1.8

Riscrivi $- 1 \sqrt{2}$ come $- \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.3

Sottrai $\sqrt{6}$ da $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{16} \sin (45)$

Passaggio 11.2.4

Somma $2 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Passaggio 12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Passaggio 12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{8} \sin (45)$

Passaggio 13

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{8}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Passaggio 14.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Passaggio 14.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{8 \cdot 2}$

Passaggio 14.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 \cdot 2}$

Passaggio 14.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{8 \cdot 2}$

Passaggio 14.6

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Passaggio 15

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Passaggio 15.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Passaggio 15.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{1}}{16}$

Passaggio 15.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2}{16}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{16}$

Passaggio 16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Passaggio 16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Passaggio 16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8}$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{8}$

Forma decimale:

$0.125$