Trigonometria Esempi

$\sin (105) \sin (75)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (105)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Passaggio 1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin (75) \sin (75)$

Passaggio 1.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin (30 + 45) \sin (75)$

Passaggio 1.3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (75)$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\sin (75)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Passaggio 2.1

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (30 + 45)$

Passaggio 2.2

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

Passaggio 2.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 2.7.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 2.7.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 2.7.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Passaggio 2.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ per $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

Passaggio 4

Riscrivi ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ come $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Passaggio 5

Espandi $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 6.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.10

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.11

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 6.1.11.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.11.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.12

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Passaggio 6.1.13

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

Passaggio 6.1.14

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

Passaggio 6.1.15

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

Passaggio 6.1.16

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

Passaggio 6.2

Somma $2$ e $6$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 6.3

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $8 + 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 7.2

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Passaggio 7.3

Scomponi $4$ da $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 7.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Passaggio 7.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Forma decimale:

$0.93301270 \dots$