Trigonometria Esempi

$\csc (\frac{11 π}{8})$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{11 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\csc (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})$

Passaggio 2

Applica l'identità reciproca a $\csc (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{11 π}{4}}{2})}$

Passaggio 3

Applica la formula di bisezione per il seno.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Passaggio 4

Change the $\pm$ to $-$ because cosecant is negative in the third quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Passaggio 5

Semplifica $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Passaggio 5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{11 π}{4})}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Passaggio 5.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Passaggio 5.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Passaggio 5.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Passaggio 5.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}})$

Passaggio 5.5

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ per $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Forma decimale:

$- 1.08239220 \dots$