Trigonometria Esempi

$\cos (105) \cos (75)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\cos (105)$ è $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (75) \cos (75)$

Passaggio 1.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \cos (30 + 45) \cos (75)$

Passaggio 1.3

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (75)$

Passaggio 1.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Passaggio 1.8

Semplifica $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Passaggio 1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Passaggio 1.8.1.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Passaggio 1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (75)$

Passaggio 1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (75)$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (75)$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\cos (75)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 2.1

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (30 + 45)$

Passaggio 2.2

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))$

Passaggio 2.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7

Semplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 2.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Passaggio 2.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3

Moltiplica $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Passaggio 4

Riscrivi ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ come $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 5

Espandi $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 6.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.5.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.6

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 6.1.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.9

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Passaggio 6.1.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.9.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.10

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 6.1.10.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.10.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 6.1.13

Moltiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 6.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 6.1.13.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 6.1.13.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 6.1.13.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Passaggio 6.1.13.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Passaggio 6.1.13.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Passaggio 6.1.14

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 6.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Passaggio 6.1.14.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Passaggio 6.1.14.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Passaggio 6.1.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.1.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Passaggio 6.1.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Passaggio 6.1.14.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Passaggio 6.2

Somma $6$ e $2$ .

$- \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 6.3

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $8 - 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 7.2

Scomponi $4$ da $- 4 \sqrt{3}$ .

$- \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 7.3

Scomponi $4$ da $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 7.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 7.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Forma decimale:

$- 0.06698729 \dots$