Trigonometria Esempi

$z^{3} + 8 = 0$

Passaggio 1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z^{3} = - 8$

Passaggio 2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$z^{3} + 8 = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$z^{3} + 2^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = z$ e $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

Passaggio 3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Passaggio 5

Imposta $z + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $z + 2$ uguale a $0$ .

$z + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 2$

Passaggio 6

Imposta $z^{2} - 2 z + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $z^{2} - 2 z + 4$ uguale a $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ per $z$ .

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Passaggio 6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ vera.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$