Trigonometria Esempi

$\cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = - 3$

Passaggio 1

Sostituisci $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = - 3$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 1 = - 3$

Passaggio 3

Sostituisci $\csc (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = - 3$

Passaggio 4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 3 u - 1 + 3 = 0$

Passaggio 5

Somma $- 1$ e $3$ .

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

Passaggio 6

Scomponi $u^{2} + 3 u + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Passaggio 8

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 9

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ .

$u + 2 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 2$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u + 1) (u + 2) = 0$ vera.

$u = - 1, - 2$

Passaggio 11

Sostituisci $u$ per $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - 1, - 2$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = - 1$

$\csc (x) = - 2$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 13.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 13.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 13.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 13.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 13.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.3

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 14.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 14.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 14.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 14.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 14.6.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 14.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 14.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Combina $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$