Trigonometria Esempi

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\cos (x)}$ come ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ come $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ .

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Passaggio 2.3.1.3.1.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sottrai $2 \cos (x)$ da $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $4 \cos^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

Passaggio 3.1.2

Somma $4 \cos (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

Passaggio 3.1.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $\cos (x)$ e $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Fattorizza $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ .

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Passaggio 3.3.1

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.3.2.1

Riordina i termini.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ e la cui somma è $b = 5$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $5 u$ .

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.2.2

Riscrivi $5$ come $1$ più $4$ .

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.2.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $- 4 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $- 4 \cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \cos (x) = - 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = - 1$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.4.1

Calcola $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Passaggio 3.5.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Passaggio 3.5.2.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Passaggio 3.5.2.6.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Passaggio 3.5.2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Passaggio 3.5.2.6.2.2

Sottrai $1.31811607$ da $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Passaggio 3.5.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.5.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $\cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 3.6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 3.6.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.6.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.6.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 3.6.2.5

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 3.6.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.6.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Combina $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ in $2 π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ vera.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$