Trigonometria Esempi

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = - \sqrt{3}$ , $b = - 2$ e $c = \sqrt{3}$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 7.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.4.5

Calcola l'esponente.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.6

Somma $4$ e $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ .

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 7.6

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 7.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 7.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 7.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 7.6.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 7.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 7.6.6.5

Calcola l'esponente.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 7.7

Riordina i fattori in $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ .

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 11.1

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- \sqrt{3}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Passaggio 12.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Passaggio 12.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Passaggio 12.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Passaggio 12.4.3

Sottrai $0.6154797$ da $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$