Trigonometria Esempi

$\sin (2 x) = \cos (2 x) + 1$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $\cos (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) = 1$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 2$ da $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.2.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.2

Applica l'identità pitagorica.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\sin (x) - \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\sin (x) - \cos (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\sin (x) - \cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.2

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.4

Frazioni separate.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 6.2.6

Dividi $0$ per $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = 1$

Passaggio 6.2.9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 6.2.10

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.11

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.12

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.12.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.12.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 6.2.12.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 6.2.12.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.2.13

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2.13.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 6.2.13.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.2.14

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.2

Combina $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$