Trigonometria Esempi

$y = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$

Passaggio 1

Riscrivi l'espressione come $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$ .

$6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$

Passaggio 2

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 6$

$b = \frac{2 π}{7}$

$c = \frac{10 π}{7}$

$d = - 1$

Passaggio 3

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $6$

Passaggio 4

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il periodo di $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.1.2

Sostituisci $b$ con $\frac{2 π}{7}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{2 π}{7}$ corrisponde approssimativamente a $0.8975979$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$7$

Passaggio 4.2

Trova il periodo di $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci $b$ con $\frac{2 π}{7}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{2 π}{7}$ corrisponde approssimativamente a $0.8975979$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$7$

Passaggio 4.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$7$

Passaggio 5

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{\frac{10 π}{7}}{\frac{2 π}{7}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $\frac{10 π}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $2 π$ da $10 π$ .

Sfasamento: $\frac{2 π (5)}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{2 π \cdot 5}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $\frac{5}{7} \cdot 7$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{5}{7} \cdot 7$

Passaggio 5.5.2

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $5$

Passaggio 6

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $6$

Periodo: $7$

Sfasamento: $5$ ( $5$ a destra)

Traslazione verticale: $- 1$

Passaggio 7

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5)}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 7.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{10 π - 10 π}{7})$

Passaggio 7.1.2.1.3

Sottrai $10 π$ da $10 π$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{0}{7})$

Passaggio 7.1.2.1.4

Dividi $0$ per $7$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (0)$

Passaggio 7.1.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cdot 1$

Passaggio 7.1.2.1.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (5) = - 1 + 6$

Passaggio 7.1.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (5) = 5$

Passaggio 7.1.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{27}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{27}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.2.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{27}{2}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

$π$ e $\frac{27}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 27}{2} - 10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Sposta $27$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Per scrivere $- 10 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.4

$- 10 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 20 π}{2}}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.6.2

Sottrai $20 π$ da $27 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{7 π}{2}}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.8.1

Scomponi $7$ da $7 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Passaggio 7.2.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.2.2.1.9

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

Passaggio 7.2.2.1.10

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 0$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1$

Passaggio 7.2.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{17}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{17}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.3.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.3.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π \cdot 17 - 10 π}{7})$

Passaggio 7.3.2.1.2.2

Sposta $17$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{17 π - 10 π}{7})$

Passaggio 7.3.2.1.3

Sottrai $10 π$ da $17 π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

Passaggio 7.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

Passaggio 7.3.2.1.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (π)$

Passaggio 7.3.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- \cos (0))$

Passaggio 7.3.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.3.2.1.7

Moltiplica $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.1.7.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 - 6$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 7$

Passaggio 7.3.2.3

La risposta finale è $- 7$ .

$- 7$

Passaggio 7.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{41}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{41}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.2.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{41}{2}) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.2.2

$π$ e $\frac{41}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 41}{2} - 10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.2.3

Sposta $41$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.3

Per scrivere $- 10 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.4

$- 10 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 20 π}{2}}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.6.2

Sottrai $20 π$ da $41 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{21 π}{2}}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{21 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.8

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.8.1

Scomponi $7$ da $21 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Passaggio 7.4.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.9

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 7.4.2.1.10

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

Passaggio 7.4.2.1.11

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 0$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1$

Passaggio 7.4.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12)}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 7.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12) - 10 π}{7})$

Passaggio 7.5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{24 π - 10 π}{7})$

Passaggio 7.5.2.1.3

Sottrai $10 π$ da $24 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{14 π}{7})$

Passaggio 7.5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $14$ e $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.4.1

Scomponi $7$ da $14 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7})$

Passaggio 7.5.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.4.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 (1)})$

Passaggio 7.5.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 \cdot 1})$

Passaggio 7.5.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 7.5.2.1.4.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (2 π)$

Passaggio 7.5.2.1.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (0)$

Passaggio 7.5.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cdot 1$

Passaggio 7.5.2.1.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (12) = - 1 + 6$

Passaggio 7.5.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (12) = 5$

Passaggio 7.5.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

Passaggio 8

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $6$

Periodo: $7$

Sfasamento: $5$ ( $5$ a destra)

Traslazione verticale: $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

Passaggio 9