Trigonometria Esempi

{cos}^{2} (60) + {sec}^{2} (150) + {csc}^{2} (225)

$\cos^{2} (60) + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di

cos (60)

$\cos (60)$ è

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

{(\frac{1}{2})}^{2} + {sec}^{2} (150) + {csc}^{2} (225)

${(\frac{1}{2})}^{2} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1^{2}}{2^{2}} + {sec}^{2} (150) + {csc}^{2} (225)

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\frac{1}{2^{2}} + {sec}^{2} (150) + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.4

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

\frac{1}{4} + {sec}^{2} (150) + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

\frac{1}{4} + {(- sec (30))}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \sec (30))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di

sec (30)

$\sec (30)$ è

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

\frac{1}{4} + {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.7

Moltiplica

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ per

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\frac{1}{4} + {(- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Moltiplica

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ per

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.2

Eleva

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.3

Eleva

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.6

Riscrivi

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ come

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.6.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ come

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{1}{4} + {⎛ ⎜ ⎜ ⎝ - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} ⎞ ⎟ ⎟ ⎠}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {csc}^{2} (225)

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.6.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.8.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Applica la regola del prodotto a

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.9.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.9.3

Applica la regola del prodotto a

$2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.10

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{1}{4} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.11

Moltiplica

$\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ per

$1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.12.2

Riscrivi

${\sqrt{3}}^{2}$ come

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3}$ come

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.12.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.12.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.12.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.12.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.12.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.13

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{9} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.14

Moltiplica

$4$ per

$3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{12}{9} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.15

Elimina il fattore comune di

$12$ e

$9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Scomponi

$3$ da

$12$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 (4)}{9} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.2.1

Scomponi

$3$ da

$9$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \csc^{2} (225)$

Passaggio 1.16

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \csc (45))}^{2}$

Passaggio 1.17

Il valore esatto di

$\csc (45)$ è

$\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.18

Applica la regola del prodotto a

$- \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 1.19

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 1.20

Moltiplica

${\sqrt{2}}^{2}$ per

$1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 1.21

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.21.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.21.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.21.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.21.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.21.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.21.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{1}$

Passaggio 1.21.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2$

Passaggio 2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica

$\frac{1}{4}$ per

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Passaggio 2.2

Moltiplica

$\frac{1}{4}$ per

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} + 2$

Passaggio 2.3

Moltiplica

$\frac{4}{3}$ per

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Passaggio 2.4

Moltiplica

$\frac{4}{3}$ per

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2$

Passaggio 2.5

Scrivi

$2$ come una frazione con denominatore

$1$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1}$

Passaggio 2.6

Moltiplica

$\frac{2}{1}$ per

$\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 2.7

Moltiplica

$\frac{2}{1}$ per

$\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Passaggio 2.8

Riordina i fattori di

$4 \cdot 3$ .

$\frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Passaggio 2.9

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Passaggio 2.10

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Passaggio 3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

$4$ per

$4$ .

$\frac{3 + 16 + 2 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.2

Moltiplica

$2$ per

$12$ .

$\frac{3 + 16 + 24}{12}$

Passaggio 5

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma

$3$ e

$16$ .

$\frac{19 + 24}{12}$

Passaggio 5.2

Somma

$19$ e

$24$ .

$\frac{43}{12}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{43}{12}$

Forma decimale:

$3.58\overline{3}$

Forma numero misto:

$3 \frac{7}{12}$