Trigonometria Esempi

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1}$ .

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} \cdot \frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)} \cdot \frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sin (u) (\cos (u) + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\cos (u) + 1}{\sin (u)}$ per $\frac{\cos (u) + 1}{\cos (u) + 1}$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{\sin (u)}{\cos (u) + 1}$ per $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(\cos (u) + 1) \sin (u)}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(\cos (u) + 1) \sin (u)$ .

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Espandi $(\cos (u) + 1) (\cos (u) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (u) (\cos (u) + 1) + 1 (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 (\cos (u) + 1) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $\cos (u) \cos (u)$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Eleva $\cos (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (u) \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Eleva $\cos (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (u)}^{1 + 1} + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) \cdot 1 + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $\cos (u)$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + 1 \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $\cos (u)$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + \cos (u) + 1 \cdot 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + \cos (u) + \cos (u) + 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.2.2

Somma $\cos (u)$ e $\cos (u)$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\sin (u) \sin (u)$ .

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Passaggio 5.3.1

Eleva $\sin (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $\sin (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1 + \sin^{2} (u)$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.4.1

Raggruppa i termini.

$\frac{\cos^{2} (u) + \sin^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.4.2

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{\sin^{2} (u) + \cos^{2} (u) + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.4.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $2$ da $2 + 2 \cos (u)$ .

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Passaggio 5.4.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 5.4.5.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (\cos (u) + 1)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $1 + \cos (u)$ e $\cos (u) + 1$ .

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Passaggio 6.1

Riordina i termini.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{\sin (u)}$

Passaggio 7

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

Passaggio 8

Converti da $\frac{1}{\sin (u)}$ a $\csc (u)$ .

$\frac{2}{1} \csc (u)$

Passaggio 9

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \csc (u)$