Trigonometria Esempi

$\frac{3 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (x)$ con $u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = 4$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi $4$ come $1$ più $3$ .

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.2.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Sia $u = \sin (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (x)$ con $u$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $\sin (x) + 1$ e ${(\sin (x) + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $\sin (x) + 1$ da $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $\sin (x) + 1$ da ${(\sin (x) + 1)}^{2}$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$