Trigonometria Esempi

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sec (x)$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Espandi $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Combina i termini opposti in $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ e $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.1.2

Somma $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ e $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.1.3

Somma $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ e $0$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.3.2

Combina.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Moltiplica $- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Passaggio 6.1

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 9

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10

Riscrivi $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ come ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 11

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{\sin (x)}$ e $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 12.1.2

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 12.1.3

Frazioni separate.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 12.1.4

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 12.1.5

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 12.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 13

Applica l'identità pitagorica.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 14.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 14.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 14.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

Passaggio 14.1.2.4

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Passaggio 15

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 15.1

Riscrivi $\csc (x) \sin (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

Passaggio 15.2

Elimina i fattori comuni.

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$