Trigonometria Esempi

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\sec^{4} (x)$ come ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\tan^{4} (x)$ come ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sec^{2} (x)$ e $b = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sec (x)$ e $b = \tan (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ per $1$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Passaggio 3

Espandi $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Combina i termini opposti in $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Passaggio 4.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\sec (x) (- \tan (x))$ e $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4.1.2

Somma $- \sec (x) \tan (x)$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4.1.3

Somma $\sec (x) \sec (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Passaggio 4.2.3.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Passaggio 4.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$1$