Trigonometria Esempi

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $b = \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 4.1.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 4.2.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Passaggio 5

Espandi $(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) (\tan (x) - \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Combina i termini opposti in $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

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Passaggio 6.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\tan (x) (- \sec (x))$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6.1.2

Somma $- \sec (x) \tan (x)$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6.1.3

Somma $\tan (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) \sec (x)$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Passaggio 6.2.3.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Passaggio 6.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 6.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Passaggio 6.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 6.3.1

Riordina $\tan^{2} (x)$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $- 1$ da $\tan^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$

Passaggio 6.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Passaggio 7

Applica l'identità pitagorica.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$