Trigonometria Esempi

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = π$

Passaggio 4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (π - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.2.2.1.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x = π \cdot 2 - π$

Passaggio 5.2.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = 2 π - π$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$