Trigonometria Esempi

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Dividi per $\csc (\frac{x}{2})$ ciascun termine in $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $\csc (\frac{x}{2})$ ciascun termine in $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $\csc (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\csc (\frac{x}{2})$ in termini di seno e coseno.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Eleva $\sin (\frac{x}{2})$ alla potenza di $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $\sin (\frac{x}{2})$ alla potenza di $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.3.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

Passaggio 1.3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione come $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

Passaggio 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Passaggio 5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

Passaggio 6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 7.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = π$

Passaggio 7.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 7.5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 7.5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 7.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Semplifica $2 (π - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 7.5.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 7.5.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 7.5.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 7.5.2.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x = π \cdot 2 - π$

Passaggio 7.5.2.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = 2 π - π$

Passaggio 7.5.2.2.1.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 7.6

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 7.6.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 7.6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = - π$

Passaggio 8.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 8.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 8.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.5.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = 3 π$

Passaggio 8.6

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 8.6.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 8.6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 8.7

Somma $4 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Somma $4 π$ a $- π$ per trovare l'angolo positivo.

$- π + 4 π$

Passaggio 8.7.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$3 π$

Passaggio 8.7.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 3 π$

Passaggio 8.8

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le risposte.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$