Trigonometria Esempi

cos (2 x) + 2 {cos}^{2} (x) = 0

$\cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare

$\cos (2 x)$ in

$2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2

Somma

$2 \cos^{2} (x)$ e

$2 \cos^{2} (x)$ .

$- 1 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2

Fattorizza

$- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi

$4 \cos^{2} (x)$ come

${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Riordina

$- 1^{2}$ e

${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 2 \cos (x)$ e

$b = 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta

$2 \cos (x) + 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

$2 \cos (x) + 1$ uguale a

$0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

$2 \cos (x) + 1 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \cos (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \cos (x) = - 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi

$\cos (x)$ per

$1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di

$\arccos (- \frac{1}{2})$ è

$\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6

Semplifica

$2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

$2 π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.3.1

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 4.2.6.3.2

Sottrai

$2 π$ da

$6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 5

Imposta

$2 \cos (x) - 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

$2 \cos (x) - 1$ uguale a

$0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

$2 \cos (x) - 1 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \cos (x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi

$\cos (x)$ per

$1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Il valore esatto di

$\arccos (\frac{1}{2})$ è

$\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica

$2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

$2 π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai

$π$ da

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.8

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Combina

$\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ in

$\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 7.2

Combina

$\frac{4 π}{3} + 2 π n$ e

$\frac{π}{3} + 2 π n$ in

$\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero

$n$