Trigonometria Esempi

$y = 3 \sin (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 3$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $3$

Passaggio 3

Trova il periodo di $3 \sin (x + \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{π}{4}}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $- \frac{π}{4}$ per $1$ .

Sfasamento: $- \frac{π}{4}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $3$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{- π + π}{4})$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{0}{4})$

Passaggio 6.1.2.3

Dividi $0$ per $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.1.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.1.2.5

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 6.1.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π + π}{4})$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Passaggio 6.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3$

Passaggio 6.2.2.6

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (\frac{3 π + π}{4})$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 6.3.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (π)$

Passaggio 6.3.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.3.2.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.3.2.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Passaggio 6.3.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{5 π + π}{4})$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $5 π$ e $π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 6.4.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 6.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6.4.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.4.2.6

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 6.4.2.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 3$

Passaggio 6.4.2.7

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{7 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{7 π + π}{4})$

Passaggio 6.5.2.2

Somma $7 π$ e $π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{8 π}{4})$

Passaggio 6.5.2.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

Passaggio 6.5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Passaggio 6.5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (2 π)$

Passaggio 6.5.2.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (0)$

Passaggio 6.5.2.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \cdot 0$

Passaggio 6.5.2.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 0$

Passaggio 6.5.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & 3 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{4} & - 3 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $3$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & 3 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{4} & - 3 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

Passaggio 8