Trigonometria Esempi

${(1 + i)}^{6}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $15$ per $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $20$ per $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.10

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.12

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.15

Moltiplica $15$ per $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.16

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.16.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.16.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica $15$ per $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica $6$ per $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Passaggio 2.1.19

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Passaggio 2.1.20

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.20.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Passaggio 2.1.20.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Passaggio 2.1.20.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Passaggio 2.1.21

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Passaggio 2.1.22

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Passaggio 2.1.23

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.23.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Passaggio 2.1.23.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Passaggio 2.1.23.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Passaggio 2.1.24

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Passaggio 2.1.25

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $15$ da $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 14$ e $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Passaggio 2.2.2.3

Somma $0$ e $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $20 i$ da $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 14 i$ e $6 i$ .

$- 8 i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = 0$ e $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 6.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 8$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Passaggio 8

Poiché l'argomento è indefinito e $b$ è negativo, l'angolo del punto sul piano complesso è $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{2}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$