Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (x) - 6 \sec (x) = 6$

Passaggio 1

Sostituisci $\tan^{2} (x)$ con $\sec^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - 6 \sec (x) = 6$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\sec^{2} (x) - 6 \sec (x) - 1 = 6$

Passaggio 3

Sostituisci $\sec (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} - 6 u - 1 = 6$

Passaggio 4

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 6 u - 1 - 6 = 0$

Passaggio 5

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Passaggio 6

Scomponi $u^{2} - 6 u - 7$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $u - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $u - 7$ uguale a $0$ .

$u - 7 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 7$

Passaggio 9

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 7) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 7, - 1$

Passaggio 11

Sostituisci $u$ per $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 7, - 1$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = 7$

$\sec (x) = - 1$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = 7$ .

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Passaggio 13.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (7)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Calcola $arcsec (7)$ .

$x = 1.42744875$

Passaggio 13.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.42744875$

Passaggio 13.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 1.42744875$

Passaggio 13.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 1.42744875$ .

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Passaggio 13.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.42744875$

Passaggio 13.4.2.2

Sottrai $1.42744875$ da $6.2831853$ .

$x = 4.85573654$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.42744875 + 2 π n, 4.85573654 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - 1$ .

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Passaggio 14.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- 1)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 14.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 14.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

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Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 1.42744875 + 2 π n, 4.85573654 + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$