Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 2 \cos (x) + 2$

Passaggio 3

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 2 (u) + 2$

Passaggio 4

Sottrai $2 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + 1 - 2 u = 2$

Passaggio 5

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + 1 - 2 u - 2 = 0$

Passaggio 6

Sottrai $2$ da $1$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} - 2 u - 1$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 u$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 = 0$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} - (2 u)$ .

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} + 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Passaggio 7.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Passaggio 7.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi il polinomio.

$- (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 7.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$- {(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 8

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(u + 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(u + 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{- {(u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi ${(u + 1)}^{2}$ per $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 9

Poni $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 11

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 14

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 15

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 16

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 16.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 17

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$