Trigonometria Esempi

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

Passaggio 1

Sostituisci $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Passaggio 3

Sostituisci $\csc (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

Passaggio 4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

Passaggio 5

Somma $- 1$ e $5$ .

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

Passaggio 6

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Passaggio 6.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Passaggio 6.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7

Poni $u + 2$ uguale a $0$ .

$u + 2 = 0$

Passaggio 8

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 2$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - 2$

Passaggio 10

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Passaggio 11

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 13.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 13.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 14

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 14.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 15.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 15.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 15.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 15.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 15.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 15.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 15.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 16

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$