Trigonometria Esempi

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Passaggio 1

Sostituisci $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Passaggio 2

Sostituisci $\csc (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

$u$ e $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Passaggio 3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Passaggio 4

Somma $\frac{5 u}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 5.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Passaggio 6

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Passaggio 7

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 5$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.3

Sottrai $16$ da $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Passaggio 10

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Passaggio 11

Sostituisci $u$ per $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 13.1

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $- \frac{1}{2}$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - 2$ .

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Passaggio 14.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 14.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 14.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 14.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 14.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 14.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.6.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 14.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.6.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 14.6.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 14.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 14.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$