Trigonometria Esempi

$\cot^{2} (x) - 4 \csc (x) = - 5$

Passaggio 1

Sostituisci $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) - 4 \csc (x) = - 5$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\csc^{2} (x) - 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Passaggio 3

Sostituisci $\csc (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = - 5$

Passaggio 4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 4 u - 1 + 5 = 0$

Passaggio 5

Somma $- 1$ e $5$ .

$u^{2} - 4 u + 4 = 0$

Passaggio 6

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 2^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Passaggio 6.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Passaggio 6.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 2$ .

${(u - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7

Poni $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 8

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 2$

Passaggio 10

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (2)$

Passaggio 11

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.1

Il valore esatto di $arccsc (2)$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 12

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 13

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Passaggio 13.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 14

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 14.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$