Trigonometria Esempi

$\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) + 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(\csc (x) + 1) (\csc (x) + 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

$\csc (x) + 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\csc (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\csc (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\csc (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (x) = - 1$

Passaggio 3.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Il valore esatto di $arccsc (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 3.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 3.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.7.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\csc (x) + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\csc (x) + 2$ uguale a $0$ .

$\csc (x) + 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\csc (x) + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (x) = - 2$

Passaggio 4.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 4.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 4.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 4.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 4.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\csc (x) + 1) (\csc (x) + 2) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$