Trigonometria Esempi

$\csc^{2} (x) = 8 \cot (x) + 10$

Passaggio 1

Sostituisci $\csc^{2} (x)$ con $\cot^{2} (x) + 1$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\cot^{2} (x) + 1 = 8 \cot (x) + 10$

Passaggio 2

Sostituisci $\cot (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 1 = 8 (u) + 10$

Passaggio 3

Sottrai $8 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 1 - 8 u = 10$

Passaggio 4

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 1 - 8 u - 10 = 0$

Passaggio 5

Sottrai $10$ da $1$ .

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

Passaggio 6

Scomponi $u^{2} - 8 u - 9$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 9$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 9, 1$

Passaggio 6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 9) (u + 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $u - 9$ uguale a $0$ .

$u - 9 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 9$

Passaggio 9

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 9) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 9, - 1$

Passaggio 11

Sostituisci $u$ per $\cot (x)$ .

$\cot (x) = 9, - 1$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cot (x) = 9$

$\cot (x) = - 1$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = 9$ .

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Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (9)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Calcola $arccot (9)$ .

$x = 0.11065722$

Passaggio 13.3

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

Passaggio 13.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 0.11065722$

Passaggio 13.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

Passaggio 13.4.3

Somma $3.14159265$ e $0.11065722$ .

$x = 3.25224987$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\cot (x) = - 1$ .

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Passaggio 14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (- 1)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $arccot (- 1)$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Passaggio 14.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 14.4.1

Somma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 14.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{4}$ è positivo e coterminale con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

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Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 14.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 16.1

Combina $0.11065722 + π n$ e $3.25224987 + π n$ in $0.11065722 + π n$ .

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16.2

Combina $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{7 π}{4} + π n$ in $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$