Trigonometria Esempi

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$8 \sin^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica $8 \sin^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $8$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} \cdot \sin^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot (8 \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

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Passaggio 1.1.2.3.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{2 + 1} \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.1.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.1.3

Sposta $8$ alla sinistra di $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Frazioni separate.

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.4

Dividi $8 (\sin^{2} (x))$ per $1$ .

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2

Scomponi $8 \sin^{2} (x)$ da $8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $8 \sin^{2} (x)$ da $- 8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $8 \sin^{2} (x)$ da $8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

$8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\sin^{2} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\sin^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sin^{2} (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sin (x) = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 4.2.6

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\tan (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\tan (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\tan (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.2.5.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 5.2.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.5.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 5.2.5.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

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Passaggio 7.1

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7.2

Combina $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$