Trigonometria Esempi

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2

Sostituisci $\cos (x)$ con un'espressione equivalente nel numeratore.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 7

$4$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Moltiplica $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.2

$\frac{4}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Frazioni separate.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9.3

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9.4

Frazioni separate.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9.5

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9.6

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica per $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

Passaggio 10.2.4

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Passaggio 11

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Passaggio 11.1.2

$4$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Passaggio 11.1.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Passaggio 11.1.4

$4$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Passaggio 12

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 13

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 14.2

Riscrivi l'espressione.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Elimina il fattore comune.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 15.2

Riscrivi l'espressione.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 16

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Passaggio 16.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Passaggio 16.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 16.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Passaggio 17

Sottrai $\cos^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 18

Sostituisci $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 19

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 19.1

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Passaggio 19.2

Semplifica $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

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Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 19.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica $- - u^{2}$ .

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Passaggio 19.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Passaggio 19.2.1.3.2

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

Passaggio 19.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

Passaggio 19.3

Scomponi $4 u + 3 + u^{2}$ usando il metodo AC.

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Passaggio 19.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 19.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

Passaggio 19.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Passaggio 19.5

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 19.5.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 19.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 19.6

Imposta $u + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 19.6.1

Imposta $u + 3$ uguale a $0$ .

$u + 3 = 0$

Passaggio 19.6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 3$

Passaggio 19.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u + 1) (u + 3) = 0$ vera.

$u = - 1, - 3$

Passaggio 19.8

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

Passaggio 19.9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

Passaggio 19.10

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 1$ .

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Passaggio 19.10.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 19.10.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 19.10.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 19.10.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 19.10.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 19.10.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 19.10.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 19.10.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 19.10.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 19.10.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 19.10.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 19.10.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 19.10.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 19.10.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 19.10.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 19.10.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 19.10.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 19.10.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 19.10.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 19.10.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 19.10.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 19.10.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 19.10.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 19.11

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 3$ .

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Passaggio 19.11.1

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- 3$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 19.12

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 19.13

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$