Trigonometria Esempi

${(\sin (2 x) + \cos (2 x))}^{2} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(\sin (2 x) + \cos (2 x))}^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

${(2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x))}^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

${(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi ${(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ come $(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

$(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Espandi $(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $2 \sin (x) \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.1.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.1.4.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.1.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin^{2} (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.1.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.1.4.1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.1.9

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.3.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.1.4.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.5

Moltiplica $2 \sin (x) \cos (x)$ per $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.7

Moltiplica $- 2 \sin^{2} (x)$ per $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.8

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.8.1

Sposta $\sin (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.8.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.8.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.1.4.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.9

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.12

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.12.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.12.3

Somma $2$ e $2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{4} (x)) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.4.13

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $2 \sin (x) \cos (x)$ e $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.6

Sottrai $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ da $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.7

Sottrai $2 \sin^{2} (x)$ da $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.8

Sposta $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.9

Riordina $4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ e $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi $- 4 \sin^{2} (x)$ da $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) \cdot 1 + 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi $- 4 \sin^{2} (x)$ da $4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.12

Scomponi $- 4 \sin^{2} (x)$ da $- 4 \sin^{2} (x) (1) - 4 \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))$ .

$- 4 \sin^{2} (x) (1 - 1 \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.13

Riscrivi $- 1 \cos^{2} (x)$ come $- \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) (1 - \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.14

Applica l'identità pitagorica.

$- 4 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.15

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$- 4 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.15.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 {\sin (x)}^{2 + 2} + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.15.3

Somma $2$ e $2$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.16

Combina i termini opposti in $- 4 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1

Somma $- 4 \sin^{4} (x)$ e $4 \sin^{4} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 0 - 1 = 0$

Passaggio 2.1.16.2

Somma $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1$ e $0$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 0 = 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ e $0$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $4 \sin (x) \cos (x)$ da $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Imposta $1 - 2 \sin^{2} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $1 - 2 \sin^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (x) = - 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 7.2.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 7.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.7

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.7.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.7.4

Semplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.4.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 7.2.7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.4.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 7.2.7.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 7.2.7.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.2.7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.2.7.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7.2.8

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.8.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 7.2.8.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 7.2.8.4.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 7.2.8.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.2.8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.2.8.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 7.2.8.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.8.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.6.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.8.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 7.2.8.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.6.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 7.2.8.6.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 7.2.8.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 7.2.8.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7.2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.3

Combina $π n$ e $\frac{π}{2} + π n$ in $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.4

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$