Trigonometria Esempi

$\frac{1}{3} \cdot \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

$\frac{1}{3} {(u)}^{3} - (u) = 0$

Passaggio 2

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$

Passaggio 3

Moltiplica per $3$ ciascun termine in $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ per $3$ .

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{3} - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$u^{3} - 3 u = 0 \cdot 3$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$u^{3} - 3 u = 0$

Passaggio 4

Scomponi $u$ da $u^{3} - 3 u$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $u$ da $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - 3 u = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $u$ da $- 3 u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $u$ da $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ .

$u (u^{2} - 3) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Passaggio 6

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 7

Imposta $u^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $u^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $u^{2} - 3 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 7.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} = 3$

Passaggio 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = \sqrt{3}$

Passaggio 7.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - \sqrt{3}$

Passaggio 7.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $u (u^{2} - 3) = 0$ vera.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = 0$ .

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Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 11.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 11.4

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 11.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 11.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 11.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 12.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4

Semplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 12.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 12.4.3.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- \sqrt{3})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 13.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Passaggio 13.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 13.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Passaggio 13.4.2

L'angolo risultante di $\frac{2 π}{3}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 13.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Passaggio 13.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 13.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.3.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 13.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 13.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 13.6.4.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 13.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 13.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$