Trigonometria Esempi

$\cos (22.5) = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}}) = 2 \cos (22.5)$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ .

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Passaggio 3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Passaggio 3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (22.5)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $2 \cos (22.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (22.5)$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Riscrivi $22.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (\frac{45}{2})$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Passaggio 3.2.1.1.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.1.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 3.2.1.1.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.2.1.1.5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 3.2.1.1.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{A + \sqrt{B}}}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ come ${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(A + \sqrt{B})}^{1} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica.

$A + \sqrt{B} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ come $2 + \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ come ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$A + \sqrt{B} = {({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{1}$

Passaggio 5.3.1.5

Semplifica.

$A + \sqrt{B} = 2 + \sqrt{2}$

Passaggio 6

Sottrai $A$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{B} = 2 + \sqrt{2} - A$

Passaggio 7

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{B}}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Passaggio 8

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{B}$ come $B^{\frac{1}{2}}$ .

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$B^{1} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Semplifica.

$B = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ come $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ .

$B = (2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$

Passaggio 8.3.1.2

Espandi $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$B = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - A (- A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A \cdot A$

Passaggio 8.3.1.3.1.10

Moltiplica $A$ per $A$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1.10.1

Sposta $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (A \cdot A)$

Passaggio 8.3.1.3.1.10.2

Moltiplica $A$ per $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A^{2}$

Passaggio 8.3.1.3.1.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + 1 A^{2}$

Passaggio 8.3.1.3.1.12

Moltiplica $A^{2}$ per $1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.1

Somma $4$ e $2$ .

$B = 6 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.2

Somma $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 2 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.3

Sottrai $2 A$ da $- 2 A$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \sqrt{2} + A^{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4

Riordina i fattori di $\sqrt{2} (- A)$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - A \sqrt{2} - A \sqrt{2} + A^{2}$

Passaggio 8.3.1.3.2.5

Sottrai $A \sqrt{2}$ da $- A \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - 2 A \sqrt{2} + A^{2}$